PLAN DE LA CONFÉRENCE

A/ INTRODUCTION : DE NEWTON A LAPLACE

B/ LES TRAVAUX DE LAPLACE
1° Premiers travaux
2° Vue d’ensemble
3° Après LAPLACE : WEIERSTRASS en attendant POINCARÉ

C/ RÉCRÉATION : TRAJECTOIRES SIMULÉES

D/ DE HENRI POINCARÉ À JACQUES LASKAR
1° Les travaux d’Henri POINCARÉ
2 ° Le théorème KAM et le chaos
               Les travaux de KOLMOGOROV (1954), ARNOLD (1963) et MOSER (1967) : le chaos.
               Chaos et fractales : les dimensions fractionnaires
               Les exposants de LIAPOUNOV
3° Nouveaux développements : l’arrivée des calculateurs modernes
               Le Digital Orrery
               Les travaux de Jacques LASKAR

E /L’ORIGINE DES ÉLÉMENTS

F/ DE LA NÉBULEUSE (DE LAPLACE) AUX PLANÈTES
1° Différentes théories
2° La théorie de l’accrétion (SAFRONOV et ses successeurs américains)

  A/ INTRODUCTION : DE NEWTON À LAPLACE

D’un mot, nous franchissons les siècles : contrairement à ARISTARQUE DE SAMOS, ARISTOTE croyait que la Terre était immobile parce que, si ce n’était pas le cas, elle nous laisserait en arrière dans son mouvement ; PTOLEMEE puis TYCHO-BRAHE perfectionnèrent les instruments et affinèrent les observations. On peut dire que COPERNIC propose clairement un système héliocentrique et que GALILEE jette les bases de la physique au sens moderne du terme.

Nous ne revenons pas sur les travaux antérieurs à ceux de NEWTON, sinon pour rappeler les points essentiels :

• A la même époque que GALILEE, mais avec un génie moindre, contrairement à ce qu’écrit Claude ALLEGRE, KEPLER fait les observations et calculs dont on peut résumer les conclusions en 3 lois simples :
  - orbites elliptiques : les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe un foyer ;
  - vitesse aréolaire constante : l’aire balayée par le rayon vecteur Soleil-planète croît proportionnellement au temps ;
  - relation entre les périodes et les grands axes des orbites : les carrés des périodes sont proportionnels aux cubes des grands axes des orbites.

Ce sont des lois descriptives qui ne s’appuient pas sur des principes physiques.

• L’œuvre de NEWTON :

Les lois de la gravitation associées aux principes de la mécanique expliquent les mouvements des planètes du système solaire (mouvements périodiques, indépendants de la masse des planètes) sur des ellipses fixes dites orbites képlériennes ; en plus, les propriétés du système Terre-Lune et plus généralement celles des systèmes constitués par une planète (géante) et ses satellites sont en gros interprétées.

NEWTON ne va pas plus loin. Probablement lui manque-t-il du temps ; en outre, l’analyse qu’il a fondée avec LEIBNIZ a encore des progrès à faire.

Il n’est pas facile, à cette époque, de critiquer l’œuvre de NEWTON. Or, des irrégularités sont assez tôt mises en évidence (HALLEY) sur les périodes de révolution de Saturne et de Jupiter.
Mais, d’un autre côté, il n’est pas évident que les causes des irrégularités dans les mouvements des planètes soient contenues dans les lois de la gravitation. A l’époque, quelle que soit l’ampleur du culte dont bénéficiait NEWTON, les lois de la gravitation n’avaient pas encore acquis le caractère universel qu’on leur prête aujourd’hui. Il n’était pas complètement hérétique de penser que les écarts pouvaient s’interpréter par une loi en 1/r^2+e avec e << 2. Revenait en plus de façon un peu lancinante l’hypothèse d’une force répulsive car l’existence d’une unique force attractive dérangeait quelque peu.

Le passage des orbites circulaires de COPERNIC aux orbites elliptiques de KEPLER se traduisait par ce qu’on peut appeler un renoncement à une sorte de perfection ou d’harmonie d’ordre esthétique, renoncement qui avait troublé GALILEE. On avait fini par s’habituer à ces cercles un peu déformés qui avaient un statut mathématique défendable ou acceptable. L’histoire recommençait et il allait falloir accepter des courbes mal définies et, surtout, des mouvements non périodiques.

 B/ LES TRAVAUX DE LAPLACE

Il n’est pas étonnant qu’immédiatement après NEWTON, peu de découvertes fondamentales soient faites. L’activité scientifique est pourtant importante au début du XVIIIème siècle et il ne faudrait pas croire que l’on se contente de " digérer " l’œuvre de NEWTON. LAPLACE va donc profiter des travaux et des résultats de ses prédécesseurs immédiats : CLAIRAUT, EULER, d’ALEMBERT, les BERNOUILLI et même LAGRANGE, un peu plus âgé que lui, avec lequel il aura des relations finalement tout à fait bonnes (il ne faut pas oublier la rivalité qui pouvait exister) ; rapidement, en effet, ce dernier apparaîtra un peu comme un rival direct qui va l’aiguillonner. En outre, les collaborateurs et élèves ne vont pas manquer : BIOT, GAY-LUSSAC, MALUS, FOURIER, .... Si on ajoute que les savants que LAPLACE fréquentait avait pour noms : MONGE, LAVOISIER, BERTHOLLET, ..., on comprend facilement que l’environnement était plutôt favorable, même si l’époque ne l’était pas forcément. Notons que LAPLACE savait s’entourer ...

LAPLACE bénéficie des progrès de l’analyse et de l’astronomie. Il serait injuste d’oublier son génie :

Conceptuellement, il n’est pas facile de s’attaquer au problème de la stabilité du système solaire. On peut laisser de côté les questions religieuses : en effet, d’une part, LAPLACE a perdu la foi assez tôt (peut-être parce que l’abbé, responsable des cours de mathématiques était une nullité comme enseignant ) et d’autre part, il est vrai que l’époque permettait bien des audaces sur ce plan.

Voyons le problème. Il s’agit :
- d’expliquer les anomalies constatées dans le mouvement de certaines planètes, anomalies ou irrégularités faibles mais parfaitement mesurées. En outre, certains astronomes croient avoir mis en évidence une " variation séculaire " des paramètres orbitaux de Saturne et Jupiter et certains savants - et non des moindres puisqu’il s’agit d’EULER, de D’ALEMBERT et de LAGRANGE - affirment avoir prouvé cette variation ; mais leurs résultats sont peu cohérents et LAPLACE refait leurs calculs dans lesquels ils décèle des erreurs.
- d’expliquer la stabilité du système solaire ; ce problème avait en effet troublé NEWTON qui n’était pas convaincu par la tenue de ce bel échafaudage. Il s’agit de savoir si les différentes influences que chacun des corps exerce sur les autres ont seulement pour effet de les décaler légèrement et temporairement sur les orbites moyennes ou si ces changements risquent d’entraîner des changements radicaux et irréversibles.

Plaçons le Soleil, de masse M_S au centre O des coordonnées. Supposons M_S infinie, c’est-à-dire négligeons l’entraînement du Soleil par les planètes.

Contrairement à KANT, BUFFON ou VOLTAIRE, LAPLACE connaît parfaitement les lois de la mécanique. Les textes qu’il écrit sont clairs : les notions d’énergie, de moment cinétique sont parfaitement assimilées ; s’il est parfois un peu difficile à suivre pour un lecteur moderne, c’est le plus souvent uniquement pour des questions de vocabulaire : par exemple, la quantité de mouvement s’appelle force et la force, au sens moderne du terme, force accélératrice.

LAPLACE connaît parfaitement l’expression de l’énergie d’une planète de centre d’inertie G et de masse m, repérée par le vecteur et soumise à l’attraction du Soleil de masse M et des autres planètes et satellites (repérés par l’indice i ou j). Si K est l’énergie cinétique totale, l’énergie mécanique totale (ou hamiltonien) vaut :

.

Le mouvement du centre G de la planète est donné par le principe fondamental de la dynamique :

,

relation qui s’écrit si x, y et z sont les coordonnées de (éventuellement indicées),

idem pour y et z.

Rappelons que le problème dit à deux corps (le Soleil + une planète, la Terre et la Lune seules) a été résolu par NEWTON. En effet, on dispose de 2 intégrales du mouvement, l’énergie (frottements négligés) et le moment cinétique. A trois, il ne l’est déjà plus au sens habituel du terme et lorsqu’on examine le système déjà très modélisé que constituent deux centres attracteurs fixes et une planète mobile, on obtient des résultats surprenants.

Pris dans une relative généralité, le problème n’est donc pas simple du tout ; mais il présente, malgré tout, quelques caractéristiques dont certaines laissent à penser qu’il est un peu abordable :
- avec une très bonne approximation, on peut considérer que le système n’est pas dissipatif. Pourtant, les frottements internes existent bel et bien et les marées sont responsables des synchronisations orbito-rotationnelles. On peut ainsi expliquer pourquoi la Lune nous présente toujours la même face et le comportement encore plus étonnant du couple formé par Pluton et son satellite Charon qui, eux, font tous les deux de même (voir les articles courts mais lumineux d’Hubert GIE dans les BUP n°^s 652 p. 703 et 712 p. 427 ;
- les lois des interactions gravitationnelles sont bien connues et on peut, au moins formellement, écrire les équations. Les solutions approchées obtenues par KEPLER et NEWTON ont été longuement étudiées : comme le dit Jacques LASKAR, les résultats sont l’approximation d’ordre 0. En tous cas, on sait écrire les équations du problème :

- certains paramètres restent petits ou, apparemment, d’influence limitée. Ce sont les excentricités des trajectoires et les énergies d’interaction entre les planètes (devant celles existant entre le Soleil et celles-ci). Il revient au même de remarquer que les masses des planètes restent faibles devant celle du Soleil : elles ont, d’après la loi de l’inertie, une influence nulle à l’ordre zéro. On est donc proche du système képlérien, c’est-à-dire dans la pratique, comme nous le verrons, d’un système intégrable.

D’un autre côté, on voit bien les difficultés :
- les corps en interaction sont à la fois nombreux et en nombre mal défini. Combien faut-il en compter (même si les astéroïdes et toutes les planètes ne sont pas connus) ? L’influence des autres étoiles est-elle réellement nulle ?
- les conditions initiales des mouvements sont mal connues.

Le premier terme du hamiltonien est l’énergie cinétique de la planète dans laquelle la masse m figure. Le deuxième terme correspond à l’attraction solaire, le troisième à la somme des attractions des autres planètes.
De la même façon, dans l’expression de la somme des forces qui s’exercent sur la planète, la première est l’attraction du Soleil ; les autres correspondent à l’action des autres planètes.
Si ces interactions sont négligeables, la masse m disparaît par simplification.

La théorie de LAPLACE consiste à se placer à l’approximation d’ordre 1 : dans l’expression du principe fondamental, m se simplifie, bien sûr ; mais, les mouvements des autres planètes repérées par le rayon vecteur et vérifiant des équations analogues, dépendent de m, ce qui fait qu’à un ordre au moins égal à 1, le mouvement de la planète dépend de sa masse.

LAPLACE qui, à la différence de LAGRANGE, ne se considérait pas comme un mathématicien, ne s’est jamais beaucoup préoccupé de l’élégance de ses démonstrations. Visiblement le résultat lui importait davantage. La seule fois où il se piqua d’élégance, ce fut fulgurant : démonstration purement algébrique du théorème fondamental de l’algèbre (appelé en France théorème de d’ALEMBERT) qui, en gros revient à dire qu’un polynôme de degré n a, sur le corps des complexes, n racines.

Mais, LAPLACE a un instinct sûr qui fait qu’il se pose les " bonnes questions " : il ne se perd pas en conjectures sur la nature de l’interaction gravitationnelle ou sur son caractère instantané. D’ailleurs, lorsqu’il s’agit de prouver la stabilité du système solaire, le nombre de solutions qui s’offrent à lui est réduit : soit il écarte légèrement une planète de sa position et il montre l’existence d’une force de rappel, soit, ce qui revient au même, il montre l’existence d’un minimum d’énergie potentielle, par exemple d’allure parabolique. LAPLACE n’a pas à sa disposition des critères de stabilité plus élaborés qui seront établis plus tard ni, bien sûr, de calculateurs autres que ses collaborateurs (calculeurs). Il développe donc l’expression de l’énergie en puissances de petites quantités (nulles à l’approximation képlérienne) ou de l’écart aux valeurs qu’elles prendraient à cette approximation. LAPLACE choisit en réalité des systèmes de coordonnées locales qui vérifient un système d’équations différentielles linéaires couplées. La résolution nécessite un changement de coordonnées obtenu en diagonalisant une matrice (7´ 7 car Neptune n’est pas encore découverte) ; c’est une technique analogue qui est utilisée dans le traitement des oscillateurs couplés et la recherche des modes propres de vibration. Un théorème de mathématiques précise que les valeurs propres du système obtenu sont purement imaginaires, ce qui revient à dire que les grandeurs correspondantes oscillent sinusoïdalement. Les paramètres physiques, combinaisons linéaires inverses des grandeurs précédentes, sont des sommes de grandeurs sinusoïdales dont les périodes sont comprises entre 50 000 ans et quelque millions d’années : ils ne sont donc pas périodiques mais ont une valeur moyenne nulle.

En même temps qu’il montre une stabilité au moins apparente du système (il n’est plus besoin d’imaginer l’existence d’une intelligence supérieure), LAPLACE résout ainsi le problème de la variation séculaire des paramètres décrivant le mouvement des planètes. Il montre également que ce résultat n’est pas absolument incompatible avec les observations des astronomes qui avaient cru constater une évolution apparente des orbites planétaires.

 2° Vue d’ensemble

LAPLACE sait parfaitement qu’il a fait des approximations osées ; il sous-estime d’ailleurs quelque peu les problèmes ainsi cachés mais il ne pouvait guère faire autrement.
Dans le développement de l’énergie (opérateur hamiltonien), au voisinage des conditions du mouvement képlérien, LAPLACE et ses successeurs utilisent des développements en série de " petits paramètres " (par exemple rapport de m_i, masse la planète n° i, et de M, masse du Soleil, et excentricités des trajectoires). D’ailleurs, à lire LAPLACE, on se prend à penser qu’il développe parfois un peu n’importe quoi en fonction de n’importe quoi. Mais, " ses qualités athlétiques " et son intuition, elle aussi assez phénoménale, font qu’il arrive au bout de ses calculs et de son idée.

Par ailleurs, LAPLACE et surtout LAGRANGE, dans leurs réflexions sur les résultats de l’analyse newtonienne, et utilisant les travaux de HAMILTON, font émerger les notions de variables canoniques conjuguées. En effet, la recherche systématique et un peu empirique de variables adéquates rend plus facile la résolution au moins approximative des systèmes obtenus.
Par exemple un angle de repérage est, à l’approximation képlérienne, cherché sous la forme

q = n t+q ₀ .

Il lui correspond une variable dite d’action I ; I et q vérifient :

Si on tient compte des interactions caractérisées par un paramètre e , on cherche :

 3° Après LAPLACE : WEIERSTRASS en attendant POINCARÉ

Les solutions obtenues par les astronomes en tronquant les séries peuvent fournir une bonne approximation pour un temps fini mais ne permettent pas de statuer sur la stabilité pour un temps infini. Les résultats de LAPLACE étaient acceptables pour des temps de quelques centaines de milliers d’années. Comme on n’a guère d’idée, à l’époque, sur l’âge de l’Univers, on comprend facilement que beaucoup se contentent de ce résultat. Pourtant, les successeurs d’EULER, LAGRANGE et LAPLACE vont essayer de pousser les approximations à un degré d’ordre supérieur et s’attaquer au problème en faisant des développements limités en puissances croissantes des paramètres précités. C’est le cas de LE VERRIER, NEWCOMB, LINSTEDT et HILL , ce qui nous amène à la fin du XIXème siècle.

En réalité, loin de permettre une meilleure approximation, le calcul de nouveaux termes donne des résultats qui s’écartent des observations (RESP p. 575 : article de J. Laskar). A partir d’un moment, en effet, l’addition de termes détériore la solution au lieu de l’améliorer

La raison en est que les séries (dont LAPLACE n’avait calculé que les premiers termes) ne convergent pas. Si c’était le cas, un développement permettrait effectivement d’atteindre la précision que l’on veut. Mais il y a dans les séries de LINSTEDT (puisqu’elles portent ce nom) des termes dont le dénominateur est très petit et qui empêchent la convergence. Ces termes correspondent à des phénomènes de résonance, bien connus en physique et très aigus dans le cas qui nous occupe, car il n’y a pratiquement pas de dissipation d’énergie. En mécanique céleste, le problème est compliqué car ils peuvent aussi bien expliquer des instabilités avec éjection d’une planète qu’un verrouillage sur une orbite. Jupiter joue un rôle essentiel. L’astronome américain Daniel KIRKWOOD va bientôt remarquer que dans la ceinture d’astéroïdes, il y a des " trous " (lacunes dites de KIRKWOOD) qui correspondent à des objets qui auraient des périodes de révolution autour du Soleil dans les rapports 3/1, 7/3, 9/4 par rapport à celle de Jupiter. Il est logique de penser que les actions gravitationnelles répétées de Jupiter éloignent les objets du voisinage des orbites associées à une résonance. En revanche, certaines résonances correspondent au contraire à un excès d’astéroïdes. Il y a également le couple Jupiter Saturne sur lequel nous reviendrons.

Le problème de la stabilité du système solaire et plus généralement de la résolution des équations du mouvement des planètes, sous une forme ou sous une autre, occupe un grand nombre de savants, en particulier des mathématiciens au XIXème siècle. P. G. LEJEUNE-DIRICHLET avait confié à son étudiant L. KRONECKER avoir découvert une nouvelle méthode permettant la résolution des équations et montrant en toute généralité la stabilité du système solaire. Mais il meurt sans laisser de trace de sa découverte. KRONECKER puis WEIERSTRASS cherchent le problème sans trouver de solution. Un prix (K. WEIERSTRASS et G. MITTAG-LEFFLER) offert par le roi Oscar II de Suède en 1890 est alors promis à celui qui permettrait une avancée significative dans ce domaine :

La notoriété de DIRICHLET est telle que WEIERSTRASS ne doute pas qu’il ait résolu le problème par une méthode qui reposait, non sur des calculs longs et compliqués, mais sur le développement d’une idée simple et fondamentale que l’on peut raisonnablement espérer retrouver par une recherche pénétrante et persévérante. (id)

 C/ RÉCRÉATION : TRAJECTOIRES SIMULÉES

Henri POINCARÉ va venir. En attendant qu’il arrive, nous pouvons essayer une simulation car nous avons à notre disposition des moyens de calcul dont lui ne disposait pas. Cela donne une idée de la difficulté du problème.

Pour 3 corps, avec un petit tableur comme WORKS ou EXCEL, on peut déjà voir quelque chose. Pour commencer, on peut représenter les courbes les plus simples (cercles, ellipses) en les définissant de façon mathématique. Ensuite, j’ai tracé des ellipses " imparfaites ", c’est-à-dire pour lesquelles on observe un lente évolution des caractéristiques (excentricité puis axe principal).
Des courbes de ce type sont obtenues par la suite, par application directe des lois physiques.

Voir ces courbes simples et imparfaites

Passons maintenant à la physique.
On se limite à des planètes ponctuelles, c’est-à-dire qu’on étudie seulement le mouvement des centres d’inertie. On dispose des équations de la mécanique, c’est-à-dire du principe fondamental.
J’ai essayé avec MATLAB, puissant outil de calcul scientifique. Après une demie journée passée avec quelqu’un qui en a l’habitude, je n’ai guère obtenu davantage qu’avec EXCEL (on peut toutefois représenter simultanément les trajectoires de toutes les planètes étudiées).
L’algorithme utilisé est du type RUNGE-KUTTA, probablement d’ordre 4 sur MATLAB. Le petit bricolage effectué sur EXCEL est un RUNGE-KUTTA à l’ordre le plus bas.
Voyons avec une seule planète. Pour voir ce que l’algorithme donne, je lui ai indiqué comme conditions initiales, celles de la Terre dans son mouvement autour du Soleil. On obtient bien une ellipse de très faible excentricité, c’est-à-dire pratiquement un cercle (attention à la graduation des axes).

Voir la trajectoire de la TERRE autour du Soleil

Puis, j’ai essayé le problème dit de LAGRANGE : 2 centres attracteurs supposés fixes (choisis ici identiques au Soleil) et une planète mobile " lancée " avec des conditions initiales variables. Cet exemple simple met en évidence qu’une faible variation d’une des composantes de la vitesse initiale peut entraîner une modification très importante de l’allure de la trajectoire.

Voir la trajectoire de la TERRE dans la cas d'une étoile double

Et enfin, j’ai envisagé Jupiter sur son orbite autour du Soleil ; je lance une autre planète. La condition initiale (cinématique) reste la même ; je fais des essais avec différentes valeurs de la masse de la planète.

Voir la trajectoire de JUPITER associée à une autre planète

  D/ DE HENRI POINCARÉ À JACQUES LASKAR

Ce problème de la non-convergence de séries ne choquait pas trop les contemporains de LAPLACE. En effet, les mathématiciens de l’époque faisaient souvent la somme de termes de séries divergentes, regroupaient des termes de séries non absolument convergentes, ... Ce sera CAUCHY qui mettra un peu d’ordre dans tout cela.

De son côté, Urbain LE VERRIER avait remarqué que, pour des valeurs particulières des conditions initiales, la non-convergence des séries de LINSTEDT était presque évidente.

Dans les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, H. POINCARÉ s’attaque à son tour au problème. Au début, il trouve pour le système solaire une sorte de stabilité. Toutefois, son article initial contient des erreurs dont la correction lui fait entrevoir une situation dynamique affreusement complexe qui l’oriente vers le chaos :

H. POINCARE, les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste.

POINCARÉ entrevoit un autre problème, celui de la sensibilité extrême aux conditions initiales (SCI). Disons quelques mots sur ce sujet ainsi que les problèmes qu’il soulève.
La mécanique classique est souvent perçue comme la mécanique du continu et il est en général sous-entendu que des phénomènes (par exemple parasites), quantitativement négligeables au départ, ont forcément une importance négligeable à l’arrivée. Ce n’est pas toujours le cas. Par exemple, considérons un billard avec des " champignons " sur lesquels les boules peuvent taper : un léger changement de la position des trajectoires initiales modifie l’angle d’attaque et entraîne des changements radicaux sur les mouvements après quelques chocs (billard de SINAÏ, du nom du mathématicien russe qui a étudié de près les billards). L’expérience de la corde de MELDE peut également illustrer ce propos.
En réalité, c’est plutôt la simplicité, sinon la rusticité, des modèles utilisés (le plus souvent linéaires) qui est responsable du caractère continu (au sens mathématique du terme) des résultats obtenus. Pour prendre un exemple souvent utilisé, l’expression de l’énergie de l’oscillateur harmonique ou de l’interaction gravitationnelle de deux objets a une forme quadratique comportant donc un minimal qui minimise effectivement les écarts.

Ce ne sera plus le cas pour les problèmes gravitationnels à N corps (N > 2). POINCARE a eu l’immense mérite de distinguer ce qui était le fait de la mécanique classique et ce qui était dû aux modèles utilisés. Les philosophes des sciences disent parfois et de façon un peu pédante qu’il a séparé la mécanique classique du paradigme linéaire.

Cette sensibilité aux conditions initiales (SCI) modifie notre façon d’envisager les problèmes, notamment mais pas uniquement, les mouvements des planètes. En effet, il y a toujours une limite au contrôle des systèmes dans leur état initial ou pendant la transformation : précision des mesures, bien sûr, mais aussi petits chocs inévitables, thermalisation, ...

La SCI fera (car POINCARE n’avait que son crayon) également apparaître sous un autre jour le problème de la précision des mesures et celui des erreurs d’arrondi sur les calculateurs. En effet, dans la simulation ou le calcul, les approximations numériques, des petites erreurs dues aux arrondis existent forcément. On les supposait négligeables ; quelle importance ont-elles à l’arrivée ?

Un exemple simple et instructif est la simulation d’une certaine quantité de gaz parfait placée dans la moitié d’une boîte (par exemple celle de gauche) séparée de l’autre moitié (celle de droite), supposée vide, par une cloison étanche que l’on enlève à l’instant t = 0. Les molécules sont des disques, tous de même dimension, qui se heurtent ou heurtent les parois suivant des chocs élastiques vérifiant une loi simple et parfaitement connue. Au bout d’un certain temps, le gaz emplit toute la boîte. Mais, si on repart en arrière, c’est-à-dire si on renverse toutes les vitesses, on ne remet pas le gaz dans la demi-boîte : les inévitables erreurs dues aux arrondis sont la cause de cette apparente irréversibilité.

On contourne un peu le problème dans la pratique par des vérifications, des retours en arrière (pour lesquels on s’assure qu’on revient bien au point de départ) et une augmentation de la précision sans que toutes les difficultés soient aplanies pour autant.

Quittant l’analyse mathématique, POINCARÉ se place dans ce qu’on appelle l’espace des phases dont LAGRANGE, LAPLACE et surtout HAMILTON avaient souligné l’intérêt. Rappelons que dans le cas du mouvement d’un point matériel sur un axe x, l’espace des phases a deux dimensions : x et p_x. De même, pour un système de N particules supposées ponctuelles 1, 2, .. N et en mouvement dans l’espace réel, l’espace des phases a 6N dimensions correspondant à x⁽¹⁾, y⁽¹⁾, z⁽¹⁾ , x⁽²⁾, y⁽²⁾, z⁽²⁾ x⁽²⁾, y⁽²⁾, z⁽²⁾ , ..., x^(N), y^(N), z^(N) , .

On peut envisager d’autres variables, donc un espace des phases encore plus compliqué, si on tient compte des mouvements de rotation des planètes.

Utilisant cet espace des phases, POINCARÉ donne une interprétation géométrique des phénomènes. Il souligne que le problème à 2 corps est soluble parce qu’on connaît deux intégrales du mouvement : l’énergie et le moment cinétique total. Dans l’espace des phases, la trajectoire, soumise aux contraintes fortes que sont ces intégrales (dont l’expression correspond aux équations cartésiennes de deux surfaces), est parfaitement déterminée : c’est l’intersection de ces surfaces.

Il en va tout autrement dès que le nombre de corps en interaction augmente. POINCARÉ a pu montrer que le nombre d’intégrales du mouvement reste le même : 2, ce qui nous donne 4 relations (énergie = scalaire donc 1 relation ; moment cinétique = vecteur donc 3 relations). Dans l’espace de phases, la trajectoire a très peu de contraintes et peut pratiquement aller où elle veut. Cette propriété, ajoutée à la sensibilité aux conditions initiales, fait que l’on a pu baptiser de stochastiques les trajectoires de l’espace de phase, bien que le système soit parfaitement déterministe (voir CROQ). Le problème n’est pas intégrable et pas seulement pour des questions techniques.

Dans le cas du problème simplifié à 3 corps (Soleil fixe et 2 planètes en interaction), l’espace de phase a la dimension 12 (2 fois 3 pour les coordonnées habituelles, 2 fois 3 pour celles des quantités de mouvement). La trajectoire décrite par le système est dans un sous-espace de dimension 12 - 4 = 8.
Cet espace est bien abstrait et la pensée du virtuose qu’était POINCARÉ difficile à suivre ; elle le fut, même pour WEIERSTRASS !

Dans le cas du problème classique à une dimension x, (x et p_x ), si le système n’est pas dissipatif, le centre O n’est pas attracteur (pas de spirale centripète de centre O) et la trajectoire de phase est en gros une ellipse. Dans le cas plus général, lorsque le hamiltonien dépend uniquement des positions et des variables conjuguées et n’est pas une fonction explicite du temps, le système évolue dans l’espace des phases sur une surface à H = cte qui est, comme POINCARÉ l’a montré, une sorte de tore sur lequel s’enroule la trajectoire représentative de l’état et de l’évolution du système.
Notons que la trajectoire ne peut pas se couper. En effet, en un point d’intersection, les conditions initiales identiques entraînent la même évolution. Si H dépend du temps (ce qui n’est pas le cas qui nous occupe mais c’est le cas, par exemple des oscillations forcées), les équations changent et l’évolution peut être différente.

POINCARÉ étudie de façon très fine les trajectoires en coupant les surfaces par des plans et remplace le problème d’analyse, que constituait la convergence des séries de LINSTEDT, par un problème de géométrie et de topologie. Son ouvrage Le problème des trois corps et les équations de la dynamique remporte en 1890 le prix du roi de Suède, bien que le jury, présidé par Karl WEIERSTRASS, n’ait pas réellement compris le raisonnement d’autant plus difficile à suivre qu’il comportait des erreurs que POINCARÉ corrige peu à peu, sans états d’âme particuliers.
Plus curieusement encore, on peut dire que POINCARÉ n’avait pas réussi à répondre au problème posé, pire, qu’il n’avait même pas cherché à le faire. Il s’était en réalité surtout intéressé aux conditions associées à la non-convergence des séries et à la non-périodicité des solutions. On comprend mieux les réticences du jury !
Un an après la mort de POINCARÉ, le mathématicien finlandais Karl SUNDMAN répond d’une certaine façon à l’épreuve du concours proposé par WEIERSTRASS et donne une solution particulière du problème à 3 corps à l’aide d’une série convergente, solution qui s’est avérée sans la moindre utilité pratique (convergence très lente).

Le sujet fut ensuite un peu négligé. Les travaux de POINCARÉ tombèrent dans l’oubli. Seul, George BIRKHOFF aux Etats-Unis s’y intéressa ainsi que l’école soviétique que son isolement conduisait peut-être à étudier des sujets délaissés par d’autres. Cette école bénéficie de la présence de deux scientifiques de génie : le physicien Lev LANDAU et le mathématicien Andreï KOLMOGOROV

   2 ° Le théorème KAM et le chaos

POINCARÉ avait parfaitement vu le double problème : la non-intégrabilité du problème à N (N >2) corps ainsi que la non-convergence des séries habituellement utilisées. Quelque peu obnubilé par cette absence de convergence, il en avait conclu un peu hâtivement que la stabilité n’est pas possible.
Or, la principale résonance dans le système solaire est celle du couple Jupiter-Saturne dont les " années " sont dans le rapport 2/5. Périodiquement, les deux planètes se trouvent dans la même position et on s’attendrait à ce que les perturbations s’accumulent ou s’amplifient. J-B BIOT avait prédit un peu vite qu’une petite perturbation de l’orbite de Saturne éjecterait celle-ci. WEIERSTRASS faisait remarquer que le caractère commensurable des périodes a une importance difficile à admettre dans la mesure où la précision des mesures ne permet pas de conclure entre la rationalité et l’irrationalité du rapport.

Mais le couple Jupiter-Saturne tient.

L’approximation des nombres irrationnels par des rationnels joue effectivement dans cette affaire un rôle déterminant. Le mathématicien russe Andreï KOLMOGOROV, qui contribua à la redécouverte des travaux d’Henri POINCARE, eut l’intuition d’une réponse vers 1954. Il proposa le travail à son élève Vladimir ARNOLD qui aboutit en 1963. Jürgen MOSER obtint vers la fin des années soixante un résultat qu’on peut considérer comme voisin sous une forme différente. Il n’est pas question de nous lancer dans l’étude des travaux extrêmement difficiles et incompréhensibles pour le profane, même un peu éclairé. Bref, ce théorème qui, sur certains points, va à l’encontre des intuitions géniales de POINCARE, n’a rien d’évident.
Pour se faire une idée, donnons en un énoncé (cf par ex. Annick LESNE, méthodes de renormalisation, phénomènes critiques, chaos, structures fractales ; Eyrolles sciences 1996) :

Si Fe conserve encore l’aire dm.dq et si w ‘ ne s’annule pas sur [a, b], alors Fe possède pour e < e ₀ des courbes invariantes fermées régulières, déduites par un difféomorphisme de certains des cercles présents pour e = 0 est dont la réunion forme un ensemble Ke ; la mesure m(Ke ) est strictement positive et elle tend vers m(K) = b - a quand e ® 0. Pour e > 0, ces courbes A possèdent un paramétrage 1-périodique sur R ; sur chacune d’elles, l’évolution est engendrée par un difféomorphisme du cercle f_A , application régulière, croissante, telle que f_A (z + 1) = f_A (z) + 1 et spécifique à la courbe A. Les trajectoires [f_Aⁿ(z₀)]_{n³ 0} sont denses sur A et le nombre de rotation r ( f_A) º lim_{n® µ} n^-1[f_Aⁿ(z₀) - z₀] (indépendant de z₀) est irrationnel.

  Le théorème KAM (puisque c’est de lui qu’il s’agit) permet de montrer que l’ordre est beaucoup plus résistant qu’on pouvait le penser et précise comment se déstabilisent les systèmes mécaniques non-dissipatifs sous l’influence de perturbations. Il précise que :
- pour certaines conditions initiales, les séries deviennent convergentes et les mouvements sont quasi périodiques comme dans les cas intégrables ;
- pour d’autres valeurs de ces conditions très proches il apparaît des zones d’instabilité ou zones chaotiques.

Le théorème KAM s’applique à tout système non-dissipatif (c’est-à-dire conservatif). Mais les conclusions qu’on peut en tirer à propos du système solaire sont rien moins qu’évidentes. Le problème est que le théorème donne une valeur maximale aux valeurs des masses des planètes (ainsi qu’aux excentricités et inclinaisons des trajectoires) ; ces valeurs sont très petites, très inférieures aux masses des planètes du système solaire. On a pu objecter que les résultats étaient en quelque sorte pessimistes, afin de garantir la validité de l’énoncé mais que rien ne prouvait que des conditions moins strictes n’aboutissaient pas au même résultat.

En réalité, aucune application du théorème KAM n’a été faite au système solaire réel (LASKAR dans DAH). Mais, sans la garantir tout à fait, le théorème KAM rendait plausible la stabilité du système solaire. Depuis 1990, comme nous le verrons, les choses ont un peu évolué.

  Le chaos.

Je ne chercherai pas à le traiter ici car ce n’est pas directement le sujet. Je vous renvoie à l’excellente conférence qu’a faite Jean-François LE FLOC’H sur ce sujet ainsi qu’à la bibliographie.

Les systèmes chaotiques se distinguent par une sensibilité exacerbée aux conditions initiales. Le chaos n’est pas l’apocalypse ou l’explosion. A quoi ressemble le chaos dans la pratique ? Voilà des oscillations garanties comme chaotiques : il est difficile de les distinguer de quelque chose d’aléatoire. Nous verrons comment reconnaître du chaos.

Dans l’espace de phase, cela se traduit le plus souvent par une courbe qui est décrite plusieurs fois et tout à coup le système " s’en va ". Physiquement, une modification infinitésimale, trop petite pour qu’on puisse la maîtriser (choc avec une particule, variation de température, ...) fait que la courbe " s’échappe ".

Numériquement, un arrondi peut donner le même effet.

Mais, ce n’est pas parce que l’évolution surprend qu’on a apparition de chaos.

Cette sensibilité exacerbée aux conditions initiales fait que les courbes ne repassent pas exactement où elles " devraient " ; c’est d’ailleurs à la fois le cas dans les simulations où les nécessaires arrondis entraînent des effets importants et dans la réalité où se superposent une infinité de petits phénomènes négligés en général. Les trajectoires doivent obéir à deux impératifs contraires : la diminution de l’énergie par friction-dissipation qui tend à les rapprocher, l’évolution dans le temps avec sensibilité aux conditions initiales qui tend à les écarter ; localement, cela se traduit par une contraction dans certaines directions de l’espace des phases et un étirement dans d’autres. A ces étirements succèdent forcément des repliements parce que les grandeurs physiques prennent des valeurs forcément bornées. Cette succession d’étirements et de repliements correspond à une transformation bien connue en topologie qu’on appelle la " transformation du boulanger " car elle ressemble à ce que fait celui-ci pour préparer sa pâte (feuilletée). De la même façon qu’il reste toujours de l’air dans celle-ci, l’ensemble des trajectoires (qui ne remplissent pas l’espace de façon dense) prend une structure feuilletée assez caractéristique (attracteur étrange).

Cette propriété n’est pas le célèbre et difficile théorème de mécanique statistique dû à Joseph LIOUVILLE, qui n’est valable que pour les systèmes non-dissipatifs et qui précise que le volume occupé dans l’espace des phases doit rester le même : on pourra à ce sujet lire le très intéressant et décapant ouvrage de Roger PENROSE : l’esprit, l’ordinateur et les lois de la physique chez InterEditions. Cette tendance, dans des conditions extrêmement différentes, qu’ont les systèmes à conserver, dans l’espace des phases, une densité ou un volume constant reste surprenante.

Une autre caractéristique est l’évolution quasi-périodique dans le temps : la succession d’étirements-repliements se fait une infinité de fois sans que, fondamentalement, l’évolution soit marquante. Les trajectoires sont de plus en plus serrées, les points d’intersection avec les plans de coupe de POINCARÉ de plus en plus nombreux et on doit toujours en gros voir la même chose. Cette façon de faire du fini avec de l’infini est une invariance d’échelle : si, de loin, on voit une grosse ligne de points, de plus près, on constate que chaque ligne est constituée (par exemple) d’un groupe de 3 et d’un groupe de deux lignes, l’examen de plus près de chaque ligne redonne la même structure.

  Chaos et fractales : les dimensions fractionnaires

Les points, intersections des courbes avec un plan, ne donnent pas une courbe mais une fractale. Un des moyens de prouver le chaos est de déterminer la dimension de cette fractale : dimension non-entière au sens de Félix HAUSSDORFF (parfois appelée également dimension de HAUSDORFF-BESICOVITCH), car il existe d’autres définitions. On pourra consulter (BER2). Pour simplifier, on peut la comprendre de la façon qui suit. On considère des points à peu près régulièrement répartis sur une courbe ; soit P l’un d’entre eux et on trace un cercle de centre P et de rayon R : le nombre de points à l’intérieur du cercle est proportionnel à R. Dans le cas de points à peu près régulièrement répartis sur un plan, la même opération donne un nombre de points proportionnel à R². Si on trouve un nombre de points proportionnel à R^d, d est la dimension (non-entière) de la fractale : voir figure. On voit que cela n’a de sens que si le même phénomène se répète quelle que soit la valeur du rayon R : l’invariance d’échelle apparaît comme fondamentalement liée au chaos et à la notion de fractale.

   Les exposants de LIAPOUNOV

Dans l’évolution d’un système analogue à celui dont nous nous occupons, on cherche à déterminer l’écart d F (t) du système par rapport à une évolution bien connue (par exemple le mouvement képlérien). Cet écart obéit à une loi d F (t) = L(t). d F (0).

La matrice de LIAPOUNOV L(t) est diagonalisable et on peut montrer que ses valeurs propres peuvent s’écrire sous la forme exp(l _i.t)

Si L^†(t) est la matrice hermitique conjuguée, la trace de L(t). L^†(t) vaut . Quand t augmente, l’exponentielle ayant la partie réelle la plus grande l’emporte et seul compte (ou finit par compter) :

{Trace [L(t). L^†(t)]}.

Pour un système chaotique, .

La détermination de cet exposant sur un modèle mathématique ne pose que des problèmes de calcul. La simulation semble possible car on a , dans le cas de la mécanique céleste, une bonne connaissance de l’opérateur hamiltonien : on obtient pour quelques millions d’années (entre 4 et 25 suivant les calculs ). Signalons qu’on a pris l’habitude un peu discutable d’appeler exposant de LIAPOUNOV soit soit son inverse.
Sur des résultats expérimentaux, c’est-à-dire dans la pratique et sur les phénomènes réels, il en va tout autrement.
De toutes façons, la signification (divergence exponentielle de trajectoires voisines) même de l’exposant est délicate. Si on l’utilise en général comme indicateur du chaos, sa valeur ne reflète pas nécessairement le temps au bout duquel un changement radical risque d’affecter une orbite ou le système entier. Il n’en reste pas moins que, pour le système solaire dans son ensemble ou pour une partie de celui-ci, l’obtention de 4 à 25 millions d’années pour l’exposant de LIAPOUNOV reste troublante.

Le caractère positif de l’exposant de LIAPOUNOV et la dimension non-entière de la fractale obtenue dans un plan de coupe de POINCARE sont de bons indicateurs de chaos que l’on a assez vite soupçonné dans les mouvements :
- des petits satellites (Hypérion de Saturne par exemple )
- des petites planètes (Mercure )

   3° Nouveaux développements : l’arrivée des calculateurs modernes

Depuis l’arrivée d’ordinateurs puissants, l’intégration des mouvements devient envisageable pour un nombre assez élevé de planètes en interaction. Les progrès de l’astronomie permettent également de disposer de données raisonnablement précises.

En 1988, grâce à un ordinateur qui avait été construit spécialement pour ce travail et qui tourna sans arrêt pendant plusieurs mois pour ce calcul, le Digital Orrery, les physiciens américains Gerald SUSSMAN et Jack WISDOM ont réussi à étudier le mouvement d’un système constitué du Soleil et des planètes extérieures (Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton) pour une durée d’environ 1 milliard d’années. Ils n’ont pas cherché à déterminer la position de chaque planète à chaque instant mais à déterminer des grandeurs caractérisant chaque mouvement (spectres). L’extrême sensibilité du mouvement de Pluton aux conditions initiales (car les physiciens américains ont imaginé " plusieurs Plutons " voisins) a permis de montrer le caractère chaotique du mouvement de cette planète, l’exposant de LIAPOUNOV pouvant être estimé à 25 millions d’années. Plus exactement, l’incertitude étant multipliée par 3 tous les 20 millions d’années, toute prédiction est impossible au-delà de 400 millions d’années. Le mouvement des grosses planètes (c’est-à-dire le reste du système envisagé) apparaît toujours comme régulier, ce qui est concevable vue la faible valeur de la masse de Pluton.

Mais, la solution numérique complète pour une dizaine ou une vingtaine de planètes (+ satellites) ne peut pas encore être obtenue. Le superordinateur Toolkit, spécialement conçu pour ce genre de travaux, tout comme Digital Orrery, permet d’espérer des progrès de ce côté. Il laisse déjà entrevoir un comportement globalement chaotique de l’ensemble du système solaire dont il a déjà donné une estimation de l’exposant de LIAPOUNOV : 4 millions d’années.

 Les travaux de Jacques LASKAR

Jacques LASKAR a essayé une autre approche. Il remarque que l’on se satisferait volontiers, au moins dans un premier temps, de la connaissance de l’évolution de la forme ou de la position des orbites, le détail du mouvement des planètes sur les trajectoires apparaissant ensuite. Il a donc l’idée d’étudier le mouvement moyen des orbites, sur lesquelles il répartit uniformément la masse des planètes, ce qui lui permet de simplifier les équations dont le système, pour l’ensemble des planètes, devient (difficilement) intégrable numériquement. Il n’en reste pas moins que la menée à bien de ce calcul constitue, de l’avis général, un tour de force assez colossal.

Il apparaît que le mouvement des grosses planètes est bien régulier mais que les planètes internes du système solaire (Mercure, Vénus, Terre et Mars) est chaotique, l’exposant de LIAPOUNOV pouvant être estimé à 5 millions d’années : la distance de deux orbites initialement proches est multipliée par 3 tous les 5 millions d’années et une erreur de 10^-10 sur les conditions initiales devient 100 % au bout de 100 millions d’années, ce qui interdit pratiquement toute prévision sur des périodes de cet ordre.. Inversement, si on veut connaître les positions d’une planète dans 100 millions d’années, il faut que l’incertitude sur sa position actuelle soit de l’ordre de 10^-40 m, distance inférieure à la longueur de PLANCK                                                                    .
On admet qu’en dessous de cette valeur, la notion de distance n’a plus de signification.
Une étude due aux mathématiciens S. SMALE et B. CHIRIKOV montre que les résonances Mars-Terre et Mercure-Vénus-Jupiter sont responsables de ce chaos.

D’autres chercheurs américains (Fred FRANKLIN, Marc MURRISON, Myron LECAR, Gerald QUINLAN et Scott TREMAINE, notamment) ont emprunté une autre voie, à priori moins convaincante : ils ont développé des modèles simplifiés du système solaire avec des particules tests sans masse, ce qui veut dire qu’elles ne perturbent pas le mouvement des autres planètes. La similarité des résultats obtenus avec ceux de J. LASKAR est remarquable et, pour la communauté scientifique, elle renforce considérablement le degré de confiance qu’on peut accorder à tous ces travaux.

On peut voir également les choses d’une autre façon. Les planètes sont sur des ellipses qui se déforment (ou dont les axes tournent lentement) et balaient ainsi une surface. On peut à la rigueur dire, avec Ivar EKELAND, que la trajectoire de la Terre est plutôt un anneau qu’une ellipse ; rappelons en effet que le chaos fait intervenir (mais dans l’espace des phases) des fractales, intermédiaires entre les courbes et les surfaces.
Jacques LASKAR fait remarquer que les surfaces annulaires de toutes les planètes finissent par s’emboîter avec une telle perfection qu’il n’y a plus la place pour une autre planète. Une candidate se voit repousser ou éjecter. Il ne s’agit pas des astéroïdes, mais de la Lune.

Finalement, le système solaire semble bien chaotique, ce qui veut dire qu’on ne peut pas déterminer son état au-delà d’un certain temps. Cela ne veut pas dire que les planètes vont forcément s’éparpiller. De toutes façons, l’ordre de grandeur du temps nécessaire est celui au bout duquel le Soleil, devenu une géante rouge, aura " avalé " les planètes.

   E /L’ORIGINE DES ÉLÉMENTS

On sait que l’Univers contient surtout des noyaux d’hydrogène. On peut donc se poser la question : d’où viennent les autres noyaux, en particulier les noyaux lourds ? La nucléosynthèse est le domaine de l’astrophysique qui se propose de répondre à cette question.

Considérons un nuage de protons : il se contracte sous l’effet de la gravitation. Celle-ci l’emporte sur la répulsion électrostatique si la masse du nuage est suffisante.
Le nuage se contracte ; la température monte. Lorsqu’elle est suffisante (1,5 ´ 10⁷ K , ce qui correspond à 1,3 keV), la fusion de l’hydrogène en hélium peut avoir lieu : c’est la phase T Tauri ; l’étoile est dans la séquence principale du diagramme de HERZSPRUNG-RUSSELL.

La fusion des noyaux en un noyau plus lourd est d’autant plus difficile que les noyaux réagissant sont gros. Un modèle simple permet de le justifier (cf par exemple problème de physique : agrégation de chimie 1992).

La difficulté est de franchir la barrière coulombienne qui croît avec la taille des noyaux.

On peut supposer en effet que siet entrent en collision, la fusion se produira lorsque les deux noyaux sont en contact, les forces nucléaires (interaction forte étant à courte portée).

Supposons le second noyau immobile.

Lorsqu’il y a contact, la distance entre les centres est r = R +R’, R et R’ étant les rayons des noyaux. L’énergie de répulsion électrostatique vaut alors :

A des distances inférieures, l’interaction forte (énergie négative de plusieurs dizaines de MeV) l’emporte.

La matière nucléaire étant pratiquement incompressible, le rayon nucléaire vérifie . Par ailleurs, le nombre de neutrons étant légèrement supérieur à celui de protons, on peut poser : (ou toute autre formule empirique).

Dans ces conditions, qui décroît en fonction de Z et Z’. B_c, barrière coulombienne augmente avec la taille des noyaux.

La fusion des noyaux plus gros nécessite une vitesse initiale plus importante, donc une température plus élevée (E_c ~ 3/2 kT).

La nucléosynthèse permet de déterminer la suite des réactions nucléaires conduisant aux noyaux réellement observés avec les concentrations estimées. Toutes les réactions ne peuvent pas être envisagées. Il faut qu’elles aient une probabilité (section efficace) suffisante aux énergies considérées. Les particules doivent avoir une concentration et une durée de vie suffisantes pour être prises en considération. la détermination des réactions nucléaires a été un tour de force réalisé notamment par les physiciens ou astrophysiciens BETHE, SALPETER et HOYLE.

Quand la température atteint 1,5 ´ 10⁷ K, la fusion des noyaux d’hydrogène peut commencer :

période qui, dans le cas du Soleil est estimée à 10¹⁰ ans.

Cet ensemble de réactions porte le nom de chaîne p-pI. D’autres chaînes existent ; les plus simples p-pII, p-pIII et CNO (ou cycle de BETHE) donnent un ensemble de réactions où l’hélium est consommé puis réapparaît, un peu comme dans les mécanismes des catalyses chimiques. C’est pourquoi on les appelle les catalyses de l’hélium (voir par exemple VAL).

Contrairement à ce que croyait Hans BETHE, dans les années trente, c’est-à-dire à l’époque où il a commencé à proposer sa théorie, tous les mécanismes interviennent probablement, avec un poids variable selon les conditions physiques ; dans le cas du Soleil, on estime à 56 % la contribution de la chaîne p-pI, 40 % p-pII, 0,05 % p-pIII et 3,2 % pour le cycle de BETHE.

Quand l’hélium est suffisamment abondant, à condition que la contraction gravitationnelle porte la température à 2 ´ 10⁸ K, la fusion de l’hélium peut commencer, l’étoile est alors une géante rouge et cette période est courte (" flash de l’hélium ": 10⁵ ans) :

Imaginer la suite a posé des difficultés car a une durée de vie de 10^-16 s. Néanmoins, aux températures (10⁸ K) et densités atteintes, la capture de l’hélium est possible :

Cette réaction, qui porte le nom de réaction de SALPETER et HOYLE, est suivie d’une suite de captures de noyaux d’hélium :

...

Si la température augmente encore (4 ´ 10⁹ K), les éléments plus lourds : Si, Fe notamment peuvent être synthétisés.

Si la masse initiale du nuage est suffisante, il y a le phénomène de supernova : le coeur de l’étoile s’effondre sur lui-même tandis que les couches externes explosent et les éléments comme le fer et le silicium sont projetés dans l’espace (Nébuleuse du Crabe observée par les astronomes chinois en 1054).

Le pic du fer : les isotopes du fer posent un problème parce que ce sont les éléments les plus stables : A ~ 56 à 60. Au delà la répulsion électrostatique est trop forte et empêche la fusion : ce genre de synthèse s’arrête donc au fer. Seules des particules neutres permettent d’aller plus loin.

La synthèse des éléments plus lourds est en effet probablement due à des captures de neutrons (captures radiatives avec émission de photons) : la meilleure preuve de ce phénomène est l’abondance relative en éléments " magiques en neutrons " : N = 50, 82 et 126.

Les neutrons seraient produits par des réactions du type ²²Ne(a , n)²⁵Mg, ¹³C(a , n)¹⁶O, et ²¹Ne(a , n)²⁴Mg. Ils permettent d’obtenir des noyaux plus lourds selon des réactions de capture

Le phénomène de spallation dans le rayonnement cosmique (choc avec des particules de très grande énergie jusqu’à ~ 10²⁰ eV) permet d’interpréter d’autres résultats.
La nucléosynthèse permet donc d’expliquer la présence des éléments lourds dans l’espace.

  F/ DE LA NÉBULEUSE (DE LAPLACE) AUX PLANÈTES

Les éléments lourds se sont formés dans le creuset que constitue une supernova. Mais comment le système solaire s’est-il constitué ?

• D’abord la forme du disque ?

Cette forme se retrouve dans la galaxie et dans la système solaire. La raison en est un peu le théorème de la pâte à pizza. Le mouvement autour d’un axe fixe est le plus naturel. Pourquoi pas le repos ? Les fluctuations font qu’il y a toujours un zeste ou un reste de moment cinétique. Bref, dans un sens ou l’autre, ça tourne. L’effondrement gravitationnel fait que la conservation du moment cinétique entraîne un accroissement de la vitesse angulaire.
Les forces de viscosité entraînent un aplatissement. Mais dans la galaxie les mouvements complexes de rotation donnent naissance à des ondes de densité : ce sont les bras spiraux qui déclenchent la formation de l’étoile. Cette formation n’est pas facile d’autant plus qu’on estime que 80% des étoiles sont doubles.

• Pour former une étoile, les nuages sont trop chauds (dispersion), leur champ magnétique trop intense s’oppose à la contraction et la rotation trop rapide devrait entraîner une cassure.

À l’étoile et à l’astronome il a fallu vaincre ces obstacles.

- La naissance

Trois scénarios, ou plutôt deux, l’un présentant deux variantes se sont longtemps opposés :

La nébuleuse primitive soulevait des objections sérieuses : le Soleil contient 99 % de la masse du système solaire mais moins de 1 % du moment cinétique. Le premier à proposer un scénario cohérent fut BUFFON qui voyait le système des planètes issu d’une comète refroidie.

L’école anglaise avec CHAMBERLAIN, MOULTON, JEFFREYS et sir James JEANS a proposé un modèle dans lequel une étoile de passage arrache au Soleil des lambeaux qui, en se refroidissant, donnent naissance à des planètes. Nous serions fils directs du Soleil. L’idée est simple et séduisante.

Une variante est apparue dans les années 1930 : ce serait le Soleil qui aurait arraché de la matière à l’étoile.
Ce modèle est à peu près abandonné. Il se heurte à deux difficultés :
- d’une part, les calculs des années 20-30 d’hydrodynamique et de thermodynamique (NOLKE, RUSSELL et SPITZER) ont montré que la dispersion des débris arrachés ne pouvait pas donner une condensation en planètes : le refroidissement est extrêmement lent et la matière est rapidement dispersée.
- d’autre part, la naissance des planètes à partir d’un corps chaud (le Soleil ou l’étoile) se heurte à des problèmes d’abondance isotopique du deutérium, élément fragile qui n’existe pas à l’intérieur des étoiles.

Le grand astrophysicien anglais sir Fred HOYLE qui a, comme DESCARTES, l’art de toujours choisir le mauvais cheval, a proposé un mécanisme différent : le Soleil instable perd de la matière sous forme d’un disque annulaire qui balaie les grains déjà formés. Ces mécanismes ne marchent pas.

Revenons à la nébuleuse primitive.

Rappelons que HERSCHEL découvre Uranus en 1781. Au XVIII^ème, début XIX^ème siècle, le système solaire connu ne comporte ni Neptune ni Pluton. KANT puis LAPLACE, observant que pratiquement toutes les trajectoires quasi elliptiques des planètes sont dans un même plan à quelques degrés près, supposent que tout est né d’une nébuleuse initiale.
KANT ne connaît pas ou comprend mal la notion de moment cinétique et ne peut pas aller bien loin. LAPLACE constate la lente rotation du soleil sur lui-même (en 25 jours).
Ce n’est que dans les années 60 que Evry SCHATZMANN a imaginé une perte de moment cinétique via le freinage dû au couplage vent solaire champ magnétique.

On est revenu à la nébuleuse primitive.

Le problème de la formation des planètes peut-être résolu de 2 façons :
- un gros objet que l’on condense ;
- des petits que l’on colle.

Le premier modèle, celui des protoplanètes géantes, c’est-à-dire la formation par condensation due à l’attraction gravitationnelle, a eu deux défenseurs illustres : les astronomes KUIPER et CAMERON. L’idée est de partir d’une grosse nébuleuse (plusieurs fois la masse solaire). Les planètes seraient nées à partir d’instabilités et d’effondrement gravitationnel.
Le modèle se heurte à de nombreuses difficultés :
- des ordres de grandeur de temps ;
- la faiblesse de la teneur en hydrogène des petites planètes ;
- les axes de rotation des planètes sur elles-mêmes sont orientés de façons très diverses, ce qu’explique mal un modèle par contraction ;
- la difficulté à imaginer des processus de nettoyage de la matière restante. On peut admettre que la nébuleuse avait une masse initiale énorme à condition de trouver une façon de faire disparaître ce qui est en trop.

Il est maintenant à peu près abandonné même si certaines idées sont mises en œuvre pour les planètes géantes (Jupiter, Saturne) dont le noyau a pu atteindre une taille critique permettant l’effondrement gravitationnel. De ce point de vue, Jupiter et Saturne sont de petits systèmes solaires avec les satellites-planètes effectivement nombreux. Neptune et Uranus n’ont pas une taille suffisante.

   2° La théorie de l’accrétion (SAFRONOV et ses successeurs américains)

Le second modèle, la formation des planètes par accrétion de planétésimaux correspond plus directement à l’idée originelle de LAPLACE. Il a été défendu par l’école russe Viktor SAFRONOV (1960) à la suite des travaux de SCHMIDT (1940), L. GUREVITCH et A. LEVEDINSKII (1950) et la nouvelle école américaine Richard GREENBERG, George WETHERHILL et Larry COX (1970).

On peut le résumer en la formation de 5 disques :
     - disque de gaz soleil très chaud.
     - disque de grains refroidissement ® glaces lointaines, Al₂O₃ ;
     - disque de planétésimaux (500 m à 1 km) ;
     - disque d’embryons (jusqu’à 1000 km) ;
     - disque de planètes.
Il a considérablement gagné en crédibilité ces dernières années car :
     - on est parvenu à résoudre le problème du moment cinétique et la faible rotation du Soleil ;
     - on a observé des étoiles (b Pictoris, Véga dans la constellation de la Lyre, Formalhaut, e Eridani, ...) entourées d’un nuage de poussière analogue à celui qu’envisage cette théorie. Le cas de b Pictoris a été bien étudié : le disque de poussières a été formé par le disque d’accrétion qui a créé l’étoile et s’étend sur 400 UA de part et d’autre du centre de l’étoile. Les grains de poussière sont très petits et le nuage correspond assez bien à l’idée qu’on se fait du système solaire avant l’apparition des planètes. Rappelons que le système solaire fait de l’ordre de 80 UA.
     - les calculs semblent correspondre.

Regardons de plus près. Deux problèmes se posent essentiellement :
     - la matière dispersée va-t-elle s’agglomérer ou au contraire se disperser ? Anneaux ou planète ?
     - l’agglomération est-elle possible avec fusion des roches ?

Le problème est évidemment délicat. Il n’a pu être abordé valablement que grâce au génie des théoriciens soviétiques puis américains, ces derniers bénéficiant évidemment de l’aide des plus gros ordinateurs. Mais, même ceux-ci ne peuvent traiter que de manière approchée des modèles considérablement simplifiés.
En outre, comme toujours, les conditions initiales du problème sont mal connues. Le choix de conditions initiales discutables, pour ne pas dire pifométriques, a souvent donné des résultats surprenants, parfois encourageants. Malgré tout, il apparaît qu’avec des hypothèses raisonnables on puisse arriver à l’apparition d’une dizaine de planètes. Larry COX, partant d’une centaine de planétoïdes de 1,2 ´ 10²⁵ kg chacun (ce qui donne une masse totale égale à celle des planètes internes (Mercure - Mars), arrive, avec des paramètres initiaux des orbites déterminés au hasard, à obtenir 22 embryons au bout de 30 Millions d’années. Au bout de 79 Millions d’années, il resterait 11 objets, au bout de 151 Millions d’années 6 objets, au bout de 441 Millions d’années, il ne resterait que 4 planètes (la planète extérieure, la plus grosse résultant de la coalescence de 54 planétoïdes) : la Terre se serait formée en une centaine de Millions d’années. Voir à ce sujet le très bel article de George WETHERHILL ref (WETH).
Par ailleurs, la structure en anneaux peut également être obtenue ; mais elle apparaît comme réellement instable, peut-être stabilisée par la présence de petits satellites (surtout dans le cas des arcs des anneaux de Neptune).

En réalité, il n’est pas possible de traiter de la même façon l’agglomération de poussières en cailloux, de cailloux en rochers, de rochers en planétésimaux et de planétésimaux en planètes. Néanmoins, dans une approche rapide, c’est un peu ce que nous allons faire.

Examinons un choc : il ne doit pas être trop faible car l’accrétion ne se produirait pas : il faut une vitesse suffisante pour qu’il y ait fusion des zones en contact. Mais, si la collision est trop violente, c’est-à-dire si les vitesses relatives sont trop grandes, les planètes se brisent.
Quelle doit être cette vitesse relative entre deux objets pour que le choc soit efficace en ce qui concerne la coalescence ? C’est l’hypothèse essentielle de SAFRONOV qu’on peut justifier par des arguments d’homogénéité et de pertinence. Lors du choc, de un peu avant à un peu après, l’hypothèse simplificatrice est évidemment de négliger l’action du Soleil et des autres planètes devant l’interaction des objets qui vont se heurter. Or, pour ces deux objets, il y a une vitesse caractéristique qui est la vitesse de libération v_L qui tient à la fois de la cinétique et de la gravitation ; or, c’est justement l’interaction gravitationnelle entre les deux objets qui va déformer les trajectoires et permettre aux planétésimaux de se heurter.

Soient deux objets de masses m₁ et m₂. Supposons le second immobile : la vitesse de libération est celle qui donne au premier une énergie nulle, limite qui lui permet d’arriver à l’infini avec une vitesse nulle, donc de se libérer de l’attraction de m₂. Une énergie négative ne correspond pas à une situation semblable : l’énergie potentielle est alors nulle et l’énergie mécanique ne peut pas exister seulement sous forme cinétique.

D’où :

Pour un objet sphérique homogène de masse volumique r , ce qui donne

si r = 4000 kg.m^-3.

Cette vitesse de libération augmente proportionnellement au rayon de l’objet attracteur.

Une fois le phénomène d’accrétion commencé, si l’hypothèse de SAFRONOV est correcte, il faut que les vitesses relatives des objets augmentent en même temps que leur taille. Deux phénomènes entrent en jeu :
     - l’attraction gravitationnelle perturbe les orbites et a tendance à augmenter les vitesses relatives ;
     - les chocs ont tendance à moyenner le phénomène, à le thermaliser : en moyenne, les trajectoires sont rendues plus circulaires et les vitesses relatives diminuent.
On a pu vérifier que le premier phénomène l’emporte ; il y a une sorte de focalisation : les sections efficaces augmentent ainsi que les vitesses relatives.

Dans l’hypothèse de LAPLACE, les trajectoires sont à peu près circulaires. Il est d’ailleurs difficile d’imaginer autre chose à un stade primordial de l’existence du système. Lorsqu’il en est ainsi, les objets ne peuvent pas se heurter ; ils le font parce que les interactions perturbent les mouvements.

Les deux vitesses avant le choc sont à peu près égales : v²= GM () ~ , M étant la masse du Soleil. En effet, au moment de l’impact, les deux objets ont bien sûr la même position (même r). Par ailleurs, les orbites ont une excentricité faible : a ~ r. Par ailleurs, l’angle q entre les deux vitesses est faible. En effet, si on ne tient compte que de la gravitation due au Soleil, deux objets sur deux orbites circulaires ne peuvent pas se rencontrer ; la perturbation gravitationnelle entre eux, responsable de la déviation est faible et il en est de même de l’angle q .

Supposons les masses des deux objets identiques.

La conservation de la quantité de mouvement donne :

L’énergie cinétique du système constitué des deux masses ne se conserve pas : il y a apparition de chaleur qu’il est préférable d’estimer dans le référentiel barycentrique dans lequel les deux vitesses initiales sont etopposées.

Þ

qui sera celle du système après le choc.

d’où,

De même,

et

Perte d’énergie cinétique dans le référentiel barycentrique :

(E_c finale = 0 car les 2 particules coïncident avec G). La chaleur dégagée (calculée en valeur absolue) vaut :

soit

On retrouve la même chose dans le référentiel galiléen : c’est une bonne chose car la température finale ne dépend pas du mode calcul :

Ordre de grandeur: sur l’orbite terrestre : V₁ = 30000 m / s ; si les 2 projectiles (supposés métalliques c = 460 J.K^-1. kg^-1) ont des vitesses faisant un angle de 5^o :

Q = 2m₁ c D T

ce qui donne :

soit D T = 1860 K.

En supposant la chaleur immédiatement uniformément répartie. Au voisinage du point d’impact, l’élévation de température est bien supérieure : fusion.

Calculons la vitesse relative :

Si on prend le problème par l’autre bout : pour un objet sphérique attracteur homogène de masse volumique r (voir plus haut), la vitesse de libération vaut :

(silice SiO₂)

Pour deux objets sphériques de rayon r :
r = 1 km, u_L = 1,5 m.s^-1 ; r = 170 km, u_L = 255 m.s^-1 ; r = 1000 km, u_L = 1500 m.s^-1.
Nous sommes dans les bons ordres de grandeur.

On peut faire le calcul pour un choc Terre-Lune, puisqu’il semble que celui-ci ait existé ! En plus, si on en croît Jacques Laskar, il y a bien une place pour la Lune satellite de la Terre mais pas pour la Lune planète. C’est par l’évocation de cette apocalypse que s’achève cette conférence que je vous remercie d’avoir écouté.

  BIBLIOGRAPHIE