LE DIPOLE RC

Problématique : Qu’est ce qu’un condensateur, sa charge et sa décharge ? Comment évoluent les grandeurs électriques ( u(t) et i(t) ) dans un circuit RC  constitué d’un conducteur ohmique et d’un condensateur ?

Expérience préliminaire :

En (1) : Eclat bref de l’ampoule pendant que u_c augmente de 0 à E.

Le courant est transitoire d’intensité positive, c’est la charge.

En (2) : Eclat bref de l’ampoule pendant que u_c augmente de E à 0.

Le courant est transitoire d’intensité négative, c’est la décharge.

I Capacité d’un condensateur

1° Charge du condensateur et intensité

Un condensateur de symbole est constitué de deux armatures séparées par un isolant.

u_G > 0

E e^- ( mouvement des électrons imposé par le générateur ) Intensité moyenne :

i > 0 Accumulation d’électrons I = Q/Dt Q : la charge qui

+ se déplace dans le circuit

A B en coulomb ( C ) pendant

R C Retrait d’électrons le temps Dt en seconde ( s ).

u_R > 0 u_C > 0 Intensité instantanée : i(t) = dq(t)/dt dq(t)/dt est la dérivée de la charge q(t) qui se déplace dans le circuit à l’instant t.

Le courant positif est fléché dans le sens opposé au déplacement des électrons.

La charge accumulée par le condensateur q_A est égale à la charge q qui s’est déplacée dans le circuit.

A courant constant Q_A = Q = I.t, à courant non constant q_A = q est la primitive de i pendant la durée Dt.

Remarques : 1) Q_B = - Q_A = - I.t et 2) les charges ne traversent pas le condensateur.

2° Charge et capacité

A Q_A Q_B B C est coefficient directeur de la droite Q_A = f ( u_AB ). C’est la q_A = C. u_AB capacité du condensateur en farad ( F ).

I u_AB = V_A – V_B est la tension positive aux bornes du conden-

u_AB sateur. Q_A est la charge positive de l’armature A.

Remarque : Si u_AB < 0 alors q_A < 0

Pour déterminer la capacité d’un condensateur, on étudie la variation de charge Q_A en fonction de la tension u_AB. Le graphique Q_A = f ( u_AB ) est une droite passant par l’origine, dont le coefficient directeur est la capacité C.

La charge Q_A est obtenue par l’apport de charges à courant constant I pendant le temps t, tel que Q_A = I.t, grâce à un générateur de courant. Voir act.2 p.137.

II Charge et décharge du condensateur par un échelon de tension

1°Etude expérimentale de la charge ( Voir p.138 doc.9 et p.139 doc.10 et 11. )

L’échelon de tension est fourni par le générateur qui passe instantanément de la tension u_G = 0 à la tension u_G = E à l’instant t = 0. u_G(t) = u_c(t) + u_R(t) ( où R est la résistance totale du circuit )

La charge du condensateur n’est pas instantanée.

Au début de la charge : E = 0 + R i Þ i = I_max = E/R, intensité notée I₀.

A la fin de la charge : E = u_c + 0 Þ u_c = u_cmax = E et q = Q_max = C.E, charge maximale notée Q₀.

La durée de la charge correspond au régime transitoire ( u_c augmente progressivement de 0 à E ). Le courant de charge est transitoire. ( i diminue progressivement de I₀ à 0 ). Le régime permanent correspond au condensateur chargé (u_c = E et i = 0 ).

2° Constante de temps du circuit

La durée de la charge dépend du produit RC appelé constante de temps notée t.

t = RC t : constante de temps en seconde ( s ), R : résistance totale du circuit en ohm ( W ), C : capacité du condensateur en farad ( F ). ( voir p.139 doc.12 )

t est obtenu par lecture graphique à 63% de la tension E soit 0,63E ou par la tangente à l’origine à t = 0 ( voir p.140 doc.14 et 15 ). 99 % de la charge est obtenue pour t = 5t. (Le temps de demi charge est t_1/2 = t ln2 ).

L’analyse dimensionnelle permet de vérifier que la dimension de t est un temps :

[ t ] = [ R] .[ C ] or R = U/I Þ [ R ] = [ U ]/[ I ] et C = Q/U = I.t/U Þ [ C ] = [ I ].[ t ]/[ U ]

donc [ t ] =

3° Décharge du condensateur ( Voir p.141 doc.16 )

e^- ( mouvement spontané des électrons pour rééquilibrer les charges )

i < 0 Départ des électrons A la décharge le courant

+ est de sens opposé à celui de

la charge. Donc i>0 en charge

A B Arrivée des électrons Þ i<0 en décharge.

u_R > 0 u_C > 0

Le courant négatif est fléché dans le sens du déplacement des électrons.

L’échelon de tension est fourni par le générateur qui passe instantanément de la tension u_G = E à la tension u_G = 0 à l’instant t = 0 ou alors il est du à la fermeture instantanée d’un interrupteur qui place le circuit RC en court circuit. 0 = u_c(t) + u_R(t) ( où R est la résistance totale du circuit )

La décharge du condensateur n’est pas instantanée.

Au début de la décharge : 0 = E + R i Þ i = - I_max = -E/R, intensité notée -I₀.

A la fin de la charge : 0 = u_c + 0 Þ u_c = 0 et q = 0.

La durée de la décharge correspond au régime transitoire ( u_c diminue de E à 0 ). Le courant de décharge est transitoire ( i passe progressivement de -I₀ à 0 ). Le régime permanent correspond au condensateur déchargé (u_c = 0 et i = 0 ).

III Etude théorique de la charge

1°) Equations différentielles

u_G = u_R + u_C Þ E = Ri + u_c. Or i = dq/dt = d (Cu_c)/dt = C du_c/dt donc E = RC du_c/dt + u_c

u_G = u_R + u_C Þ E = Ri + q/C à t ³ 0. Or i = dq/dt, donc E = R dq/dt + q/C, soit C.E = RC dq/dt + q

2°) Solutions u_c(t) = E ( 1-e^-t/t ) et q(t) = Q₀ ( 1-e^-t/t ) Q₀ = C.E charge finale du condensateur.

3°) Exploitation

A t = 0, la pente de la tangente à la courbe u_c(t) est du_c/dt = E/RC. En régime permanent du_c/dt = 0.

A t = 0, la pente de la tangente à la courbe q(t) est dq/dt =Q₀/RC. En régime permanent dq/dt = 0.

IV Etude théorique de la décharge

1°) Equations différentielles

0 = u_R + u_C Þ 0 = Ri + u_c à t ³ 0. Or i = dq/dt = d (Cu_c)/dt = C du_c/dt donc 0 = RC du_c/dt + u_c

0 = u_R + u_C Þ 0 = Ri + q/C à t ³ 0. Or i = dq/dt, donc E = R dq/dt + q/C, soit 0 = RC dq/dt + q

2°) Solutions u_c(t) = E e^-t/t et q(t) = Q₀ e^-t/t Q₀ = C.E charge initiale du condensateur

4°) Exploitation

A t = 0, la pente de la tangente à la courbe u_c(t) est du_c/dt = -E/RC. En régime permanent du_c/dt = 0.

A t = 0, la pente de la tangente à la courbe q(t) est dq/dt = -Q₀/RC. En régime permanent dq/dt = 0.

IV Energie stockée (Voir p.142 act.5)

Au cours de la charge le condensateur emmagasine de l’énergie, qu’il restitue à la décharge.

E = 1/2Cu² = 1/2 q²/C E : énergie emmagasinée en joule ( J ), C capacité du condensateur en farad ( F ), u tension aux bornes du condensateur en volt ( V ), q charge accumulée par le condensateur en coulomb ( C ).

V Récapitulatif

Grandeurs caractéristiques dépendant du temps : u_c(t) ; q(t) et i(t)

Paramètres : R, C et E

Conditions initiales : u_c(0) = E ou q(0) = Q₀

Temps caractéristique : t = RC