LE DIPOLE RL
Problématique : Qu’est ce qu’une
bobine ? Comment évoluent les grandeurs électriques ( u(t)
et i(t) ) dans un circuit RL constitué d’un conducteur ohmique et d’une bobine?
Quelle est l’origine de la surtension aux bornes d’une bobine ? Voir p.156
et 157.
Expérience préliminaire :
K fermé : Allumage lent
de l’ampoule car i augmente lentement de 0 à I = E/Rtot. La
surtension positive aux bornes de la bobine est transitoire pendant
l’établissement du courant.
K ouvert : L’ampoule
s’éteint lentement car i diminue
lentement de I = E/Rtot à 0. La surtension négative aux bornes de la
bobine est transitoire pendant la rupture du courant.
Sans la bobine le courant s’établit et s’annule instantanément.
I Tension aux bornes de la bobine
1° En courant continu
Une bobine est un enroulement cylindrique de fil électrique,
à spires jointives et de résistance r.
En courant continu, l’intensité est constante. La bobine se
comporte comme une résistance.
I uB = r.I uB :
tension aux bornes de la bobine en courant continu ( V
),
r : résitance
de la bobine en ohm ( W )
UB I : intensité du courant en ampère ( A )
2° En courant aux variations triangulaires pour une bobine de résistance
négligeable
Lorsque le générateur
basse fréquence B.F. fournit une tension triangulaire, la tension aux bornes de
la résistance est triangulaire, donc le courant i(t) =
uR(t)/R est triangulaire.
i(t)
uB uR Lorsque i(t) augmente di/dt > 0 la tension uB
= +U.
Lorsque i(t)
diminue di/dt < 0 la tension uB
= - U.
B.F Voir p.160
doc.6.
Le signal triangulaire est constitué de portions de droite
alternativement positives et négatives de coefficients directeurs a respectivement positifs et négatifs.
Ainsi pour une tension uR
aux bornes d’une résistance R = 10 kW variant de –
4,5 V à + 4,5 V en une demi période tB-tA
= 1 ms : a = [( 4,5/10000) – ( -4,5/10000) ]
divisé par 10-3 soit 0,9
A.s-1.
De la même manière en changeant la durée de la demi période
on obtient les coefficients directeurs suivants, correspondant aux mesures de uB du tableau suivant :
|
T/2 (ms)
|
1
|
1,5
|
2
|
2,5
|
3
|
|
di/dt ( A.s-1)
|
0,9
|
0,6
|
0,45
|
0,36
|
0,3
|
|
uB
= +U(V)
|
0,45
|
0,3
|
0,22
|
0,18
|
0,15
|
On constate que la tension uB
est proportionnelle à di/dt car uB
= 0,5 di/dt. Le coefficient de proportionnalité noté
L et appelé inductance.
uB = L . di/dt uB : tension aux bornes de la bobine
de résistance négligeable ( V), di/dt : dérivée
du courant par rapport au temps t ( A.s-1 ), L : inductance de
la bobine en henry ( H ).
3° Expression de la tension aux bornes d’une bobine quelconque
En courant continu uB = r.I, car I =
Cte donc di/dt = 0.
En régime variable uB » L.di/dt lorsque r.i est
négligeable devant Ldi/dt :
c’est le cas pour des variations très rapides d’un courant i (Þ di/dt très élevé) de faible intensité dans une bobine de
faible résistance(Þ r.i très faible ).
Dans le cas de
l’ouverture d’un circuit comportant un bobine, la
rupture du courant très rapide entraîne une surtension très forte aux bornes de
la bobine, responsable de l’étincelle de rupture. (voir
p. 157 doc.4 ) Elle permet l’allumage
des néons. ( voir p.156 act.B
).
II Etablissement du courant dans une bobine par un échelon de tension
1°Etude expérimentale (Voir p.161
doc.9 et p.162 doc.10 et 11.)
L’échelon de tension est
fourni par le générateur qui passe instantanément de la tension uG = 0 à la tension uG
= E à l’instant t = 0.
uG(t) =
uB(t) + ur’(t)
= uL(t) + ur(t) + ur’(t)
= uL(t) + (r + r’) i(t) = uL(t) + R i(t) donc :
uG(t) = uL(t)
+ uR(t) ( où R
= r + r’est la résistance totale du circuit )
L’établissement du
courant n’est pas instantané.
Au début de
l’établissement du courant i = 0 : E = Ldi/dt + 0 Þ la surtension Ldi/dt est maximale.
A la fin de
l’établissement du courant i = Imax : E = 0 + Ri Þ i = Imax
= E/R, intensité notée I0.
La durée de
l’établissement du courant correspond au régime transitoire ( i augmente
progressivement de 0 à I0 ). La
surtension uL = Ldi/dt aux bornes de la bobine est transitoire ( uL diminue
progressivement de E à 0 ). Le
régime permanent correspond au courant établi (i = I0 et uL
= 0 ).
2° Constante de temps du circuit
La durée
d’établissement du courant dépend du rapport L/R appelé constante de temps notée t.
t = L/R t :
constante de temps en seconde ( s ), R :
résistance totale du circuit en ohm ( W
), L : inductance de la bobine en henry ( H ). ( voir p.163
doc.12 )
t est obtenu par lecture graphique à 63% de l’intensité I0
soit 0,63 I0 ou par la tangente à l’origine à t = 0, voir p.162
doc.11. 99 % de l’intensité du courant est obtenue pour t = 5t.( Le temps de demi charge
est t1/2 = t ln2. )
L’analyse dimensionnelle permet de vérifier que la dimension
de t
est un temps :
[ t ] = [ L ] / [ R ]
or R = U/I Þ
[ R ] = [ U ]/[ I ] et L = uL/(di/dt) Þ [ L
] = [ U ]/([ I ]/[ t ]) = [ U ].[ t ]/[ I ]
donc [ t ] = 
3° Etude théorique
a-
Equation
différentielle
uG = uB + ur’ Þ E = ri + L.di/dt + r’i = Ri + L.di/dt donc :
E/R =
L/R di/dt + i
où R = ( r + r’ ) est la résistance totale du
circuit.
b-
Solution i(t) = I0 ( 1-e-t/t
) I0 = E/R est l’intensité finale du courant.
Donc la surtension aux bornes de la bobine
est :
uL(t) = L.di/dt = L.I0/t . e-t/t =
L.(E/R).(R/L) e-t/t = E e-t/t , donc uB(t) = uL(t)
+ ur(t) = E e-t/t + ri(t)
c-
Exploitation
A t = 0, i = 0 donc
la pente de la tangente à la courbe i(t) est di/dt = E/L. En régime permanent di/dt
= 0.
III Rupture du courant dans une bobine
1° Etude expérimentale (Voir p.164.)
L’échelon de tension est
fourni par le générateur qui passe instantanément de la tension uG = E à la tension uG
= 0 à l’instant t = 0 ou alors il est du à la fermeture instantanée d’un
interrupteur qui place le circuit RL en court circuit .
0 = uB(t)
+ ur’(t) = uL(t) + (r + r’) i(t) = uL(t)
+ R i(t) donc :
0 = uL(t)
+ uR(t)
( où R = r + r’est la résistance totale du circuit )
L’annulation du
courant n’est pas instantanée.
Au début de
l’annulation i = I0: 0 = Ldi/dt + RI0 Þ la surtension Ldi/dt =- RI0 = -E
A la fin de
l’annulation du courant i =0 et di/dt = 0.
La durée de
l’annulation du courant correspond au régime transitoire (i diminue de I0
à 0 ). La
surtension uL = Ldi/dt aux bornes de la bobine est transitoire ( uL passe
progressivement de -E à 0 ). Le
régime permanent correspond au courant annulé (i = 0 et uL
= 0 ).
2° Etude théorique
a- Equation différentielle
0
= uB + ur’
Þ 0 = ri + L.di/dt + r’i = Ri + L.di/dt à t ³ 0. donc 0 = L/R di/dt + i
R = ( r + r’ ) est
la résistance totale du circuit.
b- Solution i(t) = I0 e-t/t I0 = E/R est l’intensité initiale du courant.
Donc la surtension aux bornes de la bobine
est :
uL(t) = L.di/dt = -L.I0/t . e-t/t = -
L.(E/R).(R/L) e-t/t = - E e-t/t, donc uB(t) = uL(t)
+ ur(t) = -E e-t/t + ri(t)
c-
Exploitation
A t = 0, i = E/R la pente de la tangente à la courbe i(t) est di/dt = -E/L. En régime
permanent di/dt = 0.
IV Energie stockée
Au cours de l’établissement du courant la bobine emmagasine
de l’énergie, qu’elle restitue à la rupture : (Voir p.165 act.7).
E = 1/2Li2 E : énergie emmagasinée en joule ( J ), L inductance de la bobine en henry ( H ), i intensité
du courant qui circule dans la bobine ( A ).
V Récapitulatif
Grandeurs
caractéristiques dépendant du temps : i(t) et
uB(t) = uL(t)
+ ur(t).
Paramètres :
R = ( r + r’), L et E
Conditions
initiales : i(0)
Temps
caractéristique : t = L/R
