LA CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE

Problématique : Comment comprendre et prévoir le mouvement de chute d’un solide, dans le vide ou dans un fluide ( act. A et B p.220 ) avec ou sans frottement ( act. A et C p.220 et 221 ).

I Les forces extérieures exercées sur un solide en chute verticale

1° La force de pesanteur

Cette force est due à l’action du champ de pesanteur noté sur tous les corps à proximité de la terre. L’intensité de la pesanteur diminue avec l’altitude, mais aussi lorsqu’on passe du pôle ( g = 9,83 m.s^-2 ) à l’équateur ( g = 9,78 m.s^-2). Voir doc.3 p.222. Dans un espace réduit à quelques kilomètres de côté, on considère le champ de pesanteur uniforme. Voir doc. 4 p.223.

Le champ de pesanteur uniforme Û direction, sens et intensité g = sont constants.

La force de pesanteur  est appliquée au centre de gravité G du solide,

de même direction que ( verticale ), de même sens que ( vers le bas ) et d’intensité P = m.g :

P : poids (N) ; m : masse  ( kg ) et g : intensité de la pesanteur ( N.kg^-1 ou m.s^-2).

2° Poussée d’Archimède

Voir act.1 p.223.

A l’équilibre hors du fluide :

.

A l’équilibre dans le fluide :

.

est la poussée d’Archimède.

C’est une force du fluide sur le solide immergé, appliquée au centre de gravité du volume de fluide déplacé ( doc. 6 p.224), de direction verticale, de sens vers le haut et d’intensité :

F_A= P _{(fluide déplacé)} = m_{(fluide déplacé)} . g =( r_o .V_(fluide) ).g r_o : masse volumique du liquide déplacé ( kg.m^-3 ou kg.L^-1) ; V_(fluide) : volume de fluide déplacé ( m³ ou L ) ; g : intensité de la pesanteur ( N.kg^-1 ).

3° Force de frottement fluide

Si le fluide est fixe ou sans mouvement latéral par rapport à l’objet en déplacement, les frottements du solide sur le fluide sont assimilées à une force de frottement appliquée au centre de gravité du solide, de même direction que la vitesse , de sens opposé à la vitesse et d’intensité f = kvⁿ f : force ( N ) ; v : vitesse ( m.s^-1) ;k et n des constantes à déterminer expérimentalement qui dépendent de l’objet et du fluide.

II Etude de la chute verticale sans frottement

C’est une chute dans le vide : elle est appelée chute libre.

Sans fluide  : le solide n’est soumis qu’à son poids.

1° Application de la 2° loi de Newton

 :

Dans une chute libre l’accélération est indépendante de la masse égale à .

L’accélération est donc verticale dirigée vers le bas :

2° Détermination de la vitesse du solide

On sait que le mouvement est vertical, et que v ( t = 0 ) = v_o. On a donc . Or varie au cours du temps suivant la relation , donc .

On en déduit que v_z = a_z.t + v_oz (On vérifie que et que pour t = 0, v_z = v_oz),

3° Détermination du vecteur position du solide

On sait que le mouvement est vertical, et que OM ( t = 0 ) = h. On a donc . Or varie au cours du temps suivant la relation , donc .

On en déduit que z = 1/2a_z.t² + v_ozt + z_o (On vérifie que et que pour t = 0, z = z_o),

4° Influence des conditions initiales

a- v_oz = 0

z = 1/2 g . t² + h et v_z = g . t  Il s’agit d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré vers le bas.

b- v_oz ¹ 0

Si est de même sens que , le mouvement est rectiligne uniformément accéléré.

Si est de sens opposé à , le mouvement est rectiligne uniformément retardé dans un premier temps, jusqu’à annulation de la vitesse à l’instant t₁ tel que 0 = a_zt + v_oz , soit t₁ = -a_z/v_oz. Pour t > t₁ le mouvement redevient uniformément accéléré. Voir p.222 doc. 9 et 10.

III Chute verticale avec frottement

C’est une chute dans un fluide , donc le solide est soumis aux forces

1° Application de la 2° loi de Newton

On obtient l’équation différentielle : mdv/dt = mg - r_oVg - kvⁿ .

Avec m = rV_(solide) où rest la masse volumique du solide, on a dv/dt + (k/m) vⁿ = g ( 1- r_o/r)

2° Résolution de l’équation différentielle dans le cas où n = 1 : dv/dt + (k/m) v = g ( 1- r_o/r)

a- Méthode analytique

C’est une solution du type v = A ( 1- e^-t/t ).

Si t très grand ( t ® ¥ ) , v = A. La vitesse atteint une vitesse limite notée v_l pour laquelle dv/dt =0.

Par l’équation différentielle, on obtient v_l = mg/k ( 1-r_o/r)

D’autre part l’équation différentielle est vérifiée par la solution si A = mg/k ( 1-r_o/r) et si t = k/m.

La constante de temps t est le temps correspondant au point d’intersection entre la tangente à la courbe à l’origine et l’asymptote. Elle est caractéristique de l’évolution de la vitesse.

Cette évolution de la vitesse est aussi caractérisée par la grandeur t_1/2 qui est le temps au bout duquel la moitié de la vitesse limite est atteinte.

b- Méthode d’Euler

La portion de la courbe liant y_n+1( t + t ) à y_n ( t ), peut-être assimilée à une droite de coefficient directeur

a =et d’équation de type y = ax + b, soit y_n+1 = t + y_n.

On peut donc calculer y_n+1 à partir de y_n et de et ensuite y_n+2 à partir de y_n+1 et de et ainsi de suite.

La méthode d’Euler permet de reconstruire point par point et par le calcul la courbe dont on connaît la condition initiale y ( t = 0 ) = y_o et la dérivée à chaque instant à partir de l’équation différentielle.

Dans le cas de la chute verticale v_o= 0 et = g’- k/m v avec g’= g ( 1- r_o/r)

Donc à t = 0, v = v_o = 0 et = g’ ;

puis à t = t, v = v₁ = t + v_o et = g’- k/m v₁

puis à t = 2t, v = v₂ = t + v₁ et = g’- k/m v₂ etc….

On utilise un tableau pour effectuer la suite des calculs. La précision de la méthode est d’autant plus grande que l’intervalle de temps utilisé pour la progression des calculs est petit. Voit T.P.

3° Résolution de l’équation différentielle dans le cas où n ¹ 1 : dv/dt + (k/m) vⁿ = g ( 1- r_o/r)

a- Méthode d’Euler

Elle se réalise comme dans le cas précédent. Par comparaison avec les données expérimentales, il est possible de déterminer la valeur de n, c’est à dire le modèle de la force de frottements. Voir p. 227.

b- Méthode analytique

La résolution complète est trop complexe, on effectue une analyse partielle de la solution qui permet seulement de déterminer le régime initial et le régime asymptotique.

En effet dv/dt = g’ - (k/m) vⁿ avec g’ = g ( 1- r_o/r), donc à t = 0, v = 0 et l’accélération a = dv/dt = g’.

Quand t augmente, v augmente mais a = dv/dt diminue, jusqu’à s’annuler lorsque g’ = (k/m) vⁿ. Voir p.228.

Le régime initial est un mouvement accéléré, dont l’accélération diminue.

Lorsque l’accélération est nulle v = , appelée vitesse limite. Voir p.228.

Le régime asymptotique est un mouvement uniforme, dont la vitesse constante v = v_l.

L’évolution de la vitesse est encore caractérisée par la grandeur t_1/2, temps au bout duquel la moitié de la vitesse limite est atteinte, ou par la constante de temps t qui le temps correspondant au point d’intersection entre la tangente à la courbe à l’origine et l’asymptote.

IV Récapitulatif

Grandeurs caractéristiques dépendant du temps:et dans le cas d’une chute avec frottements .

Paramètres : et dans le cas d’une chute avec frottements r_(solide) et r_o(fluide), k et n qui dépendent de la forme, de la dimension et de la vitesse de l’objet ainsi que de la viscosité du fluide.

Conditions initiales :

Temps caractéristique : t (point d’intersection entre la tangente à la courbe à l’origine et l’asymptote) ou t_1/2 (temps au bout duquel la moitié de la vitesse limite est atteinte)