I- PREPARATION :

 

Un filtre à variables d'état présente deux intégrateurs dont le schéma est donné ci-dessous.

 

 

 

 

 

 

 

 

            1) Calculer la fonction de transfert isomorphe T(p) = S(p) / E(p) de cet intégrateur en fonction de sa pulsation caractéristique w₀ = 1 / RC.

 

 

 

            2) On se propose de réaliser un filtre passe-bas du second ordre dont la fonction de transfert    
         T₁(p) = S₁(p) / E(p) peut se mettre sous la forme :

 

 

 

On utilise le montage suivant :

 

                        2-1) Donner les relations liant S₁(p) à S₂(p), S₂(p) à S₃(p) et S₁(p) à S₃(p).

 

                        2-2) Sachant qu'au niveau du filtre passe-bas, on peut écrire :

 

                                       p² S₁(p) + 2mw₀ p S₁(p) + w₀² S₁(p) = w₀² E(p)

 

Montrer qu'il existe une relation linéaire entre E(p), S₁(p), S₂(p) et S₃(p).

 

Vérifier que le montage satisfait cette relation (On posera R₄' = R₄ + R₀) avec R₀ = 1 kW.

 

En déduire les expressions de R₁, R₂ et R₃ en fonction de R', et de R₄' en fonction de R' et m.

 

 

                        2-3) A quels types de filtres les sorties  S₂(p) et S₃(p) correspondent-elles ? On précisera les expressions des amplifications T₀.

 

                        2-4) Pour 0 < m < 0,707 donner l'allure des diagrammes de Bode (module et argument) des trois filtres. On précisera les valeurs remarquables et on distinguera les différents cas de figure selon les valeurs du coefficient d’amortissement  m.

 

 

 

            3) Quelle est l'équation différentielle liant s₁(t) à e(t) ? Donner l'allure de la réponse indicielle pour les valeurs de m suivantes : m = 0,707 ; m = 0,5 ; m = 0,2.

 

Préciser les valeurs remarquables de ces réponses : Dépassement, pseudo-période.

 

 

 

            4) Proposer un montage simple modifiant celui donné page 1 permettant d'obtenir m < 0. Discuter alors la stabilité du montage par une méthode de votre choix.

Pour quelle valeur de m a-t-on :            - une bascule astable

- un oscillateur sinusoïdal

 

            5) Comment peut-on obtenir un filtre réjecteur ?

 

Vérifier son fonctionnement sur la sortie S₄.

 

 

II- MESURES :

 

On utilise une maquette correspondant au schéma de la page 1 avec R₁ = R₂ = R₃ = R' = 10 kW, R₀ = 1 kW,
R = 10 kW, C = 10 nF, R₄ est constituée d'une boite à décades.

 

            1) Relever les diagrammes de Bode (gain et phase) de S₁/E, S₂/E et S₃/E pour m = 0,707 ; m = 0,5 ;
m = 0,2. Mettre en évidence les valeurs remarquables attachées à ces diagrammes.

 

 

            2) On choisit maintenant C = 0,22 µF et R = 1 MW.

 

Enregistrer, à l’aide du logiciel synchronie, les réponses s₁(t) correspondant à une entrée e(t) en échelon de hauteur 5 V. Ces réponses seront en coïncidence et correspondront aux valeurs de m suivantes : m = 0,707 ; m = 0,5 ; m = 0,2.

 

Déterminer les caractéristiques de chacune des réponses et comparer aux résultats théoriques.

 

            3) On conserve  C = 0,22 µF et R = 1 MW. Câbler pour obtenir m<0. Faire e(t)=0. A partir de la mise sous tension de l'alimentation, relever s₁(t) à l’aide du logiciel synchronie, pour les valeurs de m suivantes :  m = -0,05 ; m = -1,5. Comparer les résultats obtenus avec la théorie.